Acoustique

Sujet de bac STL, métropole-La Réunion, 2015. 

Dans une grande salle parisienne, lors de huit concerts différents, on a relevé à l'aide d'un sonomètre la pression acoustique (en pascal : Pa) à laquelle est soumise l'oreille d'une personne ainsi que le niveau d'intensité sonore (en décibel : dB) du bruit responsable de cette pression. 

Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau ci-dessous.
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \ \text{Pression acoustique}~: p_i& 0{,}5& 1& 3& 5& 7 & 10 & 13 & 15 \\\hline \ \text{Intensité sonore}~: y_i & 88 &94&103&108&111&114&116&117\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

1. Le nuage de points correspondant est donné ci-dessous.

Un ajustement affine du nuage de points semble-t-il pertinent ? Pourquoi ?
2. On pose \(x_i=\text{log}~p_i\). On rappelle que la fonction \(\text{log}\) désigne la fonction logarithme décimal. Compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de \(x_i\) à \(10^{-2}\).
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \ \ x_i= \text{log}~p_i& & & && & 1 & & \\\hline \ \text{Intensité sonore}~: y_i & 88 &94&103&108&111&114&116&117\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

3. Dans le repère suivant, représenter le nuage de points \(\text{M}_i(x_i~;y_i)\). ​​​​​​

4. Calculer les coordonnées du point moyen \(\text{G}\) du nuage et placer ce point sur le graphique. 
5. À l'aide de la calculatrice, en arrondissant les coefficients à \(10^{-2}\), donner une équation de la droite d'ajustement de \(y\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés. Tracer cette droite dans le repère.
6. Lors d'un concert de « The Who » en 1976, l'oreille des spectateurs a été soumise à la pression de \(20\) Pa. Déterminer l'intensité sonore atteinte lors de ce concert. Le résultat sera donné au décibel près.